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与圆的性质有关的辅助线

中学内容 2019-03-09 08:49 141 未知 admin
与圆的性质有关的辅助线。

方法技巧

1.连半径,利用同圆半径相等,进行等量代换。

2.作弦心距,在圆中解决有关弦的问题时,常作出弦心距。

⑴ 利用垂径定理得到平分弦的条件。

⑵ 构造直角三角形(构造由半径、半弦、弦心距组成的三角形)利用勾股定理解题。

⑶ 证等弦时,通过证两弦的弦心距相等来证。

3.有等弧时常用的辅助线。⑴ 连等弧所对的弦得到等弦。⑵ 连等弧所对圆心角或圆周角,得到等角。⑶ 构造平行线。

4.有等弦时常用的辅助线。⑴ 连等弦时的圆心角或圆周角。⑵ 作弦心距。⑶ 构造平行线。

5.与直径有关的辅助线。⑴ 作直径所对的圆周角。⑵ 作和直径垂直的弦或把和直径垂直的线段补成弦,利用垂径定理和相交弦定理推论证题。⑶ 常取另一弦中点,构造三角形中位线。⑷ 过直径的一端点作圆的切线。

6.圆上有四点时,常构造圆内接四边形,再利用圆内接四边形性质证题。

真题求解

已知AM是⊙O的直径,B是⊙O上一点,过点B作BN丄AM,垂足为N,其延长线交⊙O于点M,弦CD交AM于点E.

⑴ 通过适当的变换使得CD丄AB,求证:EN=MN;⑵ 弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证:CE*2=EF·ED;⑶ 若弦CD、AB的延长线交于点F,且CD=AB,那么⑵中的结论是否仍然成立?请证明你的结论。

解题步骤

⑴证明:如图,连接BM,

∵AM是⊙O的直径,∴∠ABM=90°.∵CD丄AB,∴BM//DC.∴∠NBM=∠NCE.∵ON是弦心距,∴BN=NC,在△NEC和△NMB中,∠ENC=∠MNB,∠M=∠C,BN=NC∴△NEC≌△NMB(ASA).∴EN=NM。

⑵ 证明:如图,连接AC,BE,BD.

∵CD=AB,∴A⌒DB=D⌒BC,∴A⌒D=B⌒C,∴∠ACD=∠BDC.∴∠ACD=∠ABE∴∠BEF=∠BEF,∠BDC=∠ABE∴△FEB ∽△BED.∴EF·DE=BE*2=CE*2.

⑶ 如图3,⑵的结论仍成立

证明:∵AM丄BC,∴BE=CE,AB=AC.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AB=CD,∴∠4=∠DBC.∴∠3=∠DBC=∠2+∠5又∵∠3=∠F+∠1,∴∠F=∠5.∵∠BED=∠FEB,∴△BDE∽△FBE,∴BE/EF=ED/BE,∴BE*2=EF·ED.∴CE*2=EF·ED.

规律总结

在圆中要充分借助于题目中的已知条件,构造出运用圆的有关性质的基本图形,利用基本性质解决不同题目中的具体问题。

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